【SPI対策】「集合」の練習問題と解答30選 | 解き方のコツ,ベン図の書き方も

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 110人 となります。

まず、問題の条件からベン図を書いてみましょう。

いかにわかりやすいベン図をかけるかが勝負なので、少々大きめに書くことをおすすめします。

すると、以下のような図になります。

＜ベン図の書き方のポイント＞

・円を大きめに

・1つの円全体の数は、円の近くの外側に書いておく

・重なる部分は、間違えないようにするために斜線で塗りつぶす、太線で囲むといった工夫をしてわかりやすく！

上の図を見ながら、求める人数を計算していきます。

斜線部分は英語と仏語の両方が話せる25人です。

求める「英語と仏語のどちらか片方だけ話せる人」は上図の青い部分になります。

英語だけ話せる人は、「英語が話せる人」-「英語も仏語も話せる人」なので、

英語だけ→120-25=95人。

同様に、仏語だけ話せる人は

仏語だけ→40-25=15人。

これらより

合計→95+15=110人。

このように求めることができます。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 280人 になります。

最後にもう一問、ベン図を描く問題をやっておきましょう。

求めるものはベン図の青い部分（スマホ円のうち、タブレットと重ならない領域）です。

まず、黄色のタブレットとスマートフォンの両方を持っている人数は、全体から考えて

170+350+50-500=70人。

ですから、スマートフォンだけを持っている人は

350-70=280人。

とわかります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 350人 になります。

まず、両方のクラスを受講している学生の人数を求めます。

全体の人数から、どちらのクラスも受講していない学生の人数を引くと、少なくとも1つのクラスを受講している学生の人数がわかります。

1000−200=800。

次に、英語または数学のどちらか、または両方のクラスを受講している学生の合計を求めます。

600+450=1050。

ここで、実際にクラスを受講している人数との差を求めます。

1050−800=250。

この250人が、両方のクラスを受講している学生の人数です。

次に、英語のクラスだけを受講している学生の人数を求めます。

英語のクラスを受講している学生の総数から、両方のクラスを受講している学生の人数を引きます。

600−250=350。

よって、英語のクラスだけを受講している学生は 350人 です。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 8人 になります。

まず、少なくとも一方の部に入っている人数を求めます。

80-18=62人。

次に、テニス部と美術部の合計から、両方に入っている人数を求めます。

両方→42+28-62=8人。

このように、「少なくとも一方の合計＝Aの人数＋Bの人数−両方」の関係式を使えば、両方の人数がすぐ出せます。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 29人 になります。

まず、バスまたは電車のどちらか少なくとも一方を使う人数を求めます。

少なくとも一方→68+45-22=91人。

ですから、どちらも使わない生徒は

120-91=29人。

となります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 38人 になります。

まず、少なくとも一方が好きな人数を求めます。

150-18=132人。

次に、両方好きな人数を求めます。

両方→94+76-132=38人。

このように求めることができます。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 220人 になります。

まず、両方に満足した人数（=どちらにも不満なし）を確認します。

両方満足→140人。

求めるのは「少なくとも一方に不満」=「両方とも満足ではない」の余事象なので、

少なくとも一方に不満→360-140=220人。

このように、「両方満足」と「少なくとも一方に不満」は全体に対する余事象の関係になります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 46人 になります。

まず、少なくとも一方を利用している学生の人数を求めます。

180-16=164人。

次に、両方利用する学生の人数を求めます。

両方→112+98-164=46人。

このように求めることができます。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 54人 になります。

慣れたらベン図を書かなくても解けるようにしましょう。

どちらも利用しない人の数をXとおくと、両方利用する人は3X人となります。

ですから、全体について、

58+78+X-3X=100。

となるので、これを解いてX=18とわかるので、答えは3X=54人です。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 36人 になります。

どちらにも行かなかった人の数をXとおくと、両方に行った人は3X人となります。

ですから、全体について、

78+66-3X+X=120。

左辺を整理して、

144-2X=120。

2X=24 → X=12。

したがって、両方→3X=36人です。

このように、「両方＝どちらも無し×倍数」の問題は、Xを置いて1次方程式を立てれば解けます。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 100人 になります。

まず、各項目の人数を計算します。

先月号→500×0.60=300人。

先々月号→500×0.45=225人。

両方→500×0.25=125人。

次に、少なくとも一方を読んだ人数を求めます。

少なくとも一方→300+225-125=400人。

ですから、どちらも読まなかった人は

500-400=100人。

となります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 92人 になります。

まず、研修Aの人数を計算します。

研修A→400×0.55=220人。

次に、少なくとも一方を受けた人数を求めます。

少なくとも一方→220+172-84=308人。

ですから、どちらも受けていない社員は

400-308=92人。

このように、％は先に人数に直しておくとミスが減ります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 40人 になります。

まず、少なくとも一方を買った人数を求めます。

320-147=173人。

次に、両方とも買った人数を求めます。

両方→118+95-173=40人。

このように求めることができます。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 161人 になります。

求めるのは「ちょうど一方だけ受験した人」です。

1次だけ→260-142=118人。

2次だけ→185-142=43人。

これらより

合計→118+43=161人。

別解として、「少なくとも一方＝260+185-142=303人」から「両方142人」を引いて 303-142=161人 でも同じです。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 45人 になります。

今回求めるのは、上のベン図の青い部分です。

例題①で求めた「英語と仏語のどちらか片方だけ話せる110人」+「英仏両方25人」+「独語だけ話せる20人」の合計を200人から引けば求めることができます。

したがって、

200-（110+25+20）=45人。

となります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 172人 になります。

3集合の包除原理を使います。

A∪B∪C=A+B+C-(A∩B)-(B∩C)-(C∩A)+A∩B∩C。

ここで A=英語85、B=数学70、C=国語90、A∩B=25、B∩C=28、C∩A=32、A∩B∩C=12 です。

代入すると

少なくとも1つ→85+70+90-25-28-32+12=172人。

となります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 28人 になります。

問16で求めた「少なくとも1つ好き」の172人を全体200人から引けばOKです。

どれも好きでない→200-172=28人。

このように、包除原理で「少なくとも1つ」を出してから、余事象で「どれも無し」を求めるのが定番の流れです。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 165人 になります。

「ちょうど1つだけ」を出すには、各集合の人数から「他の集合との重なり」を引きます。

このとき、3つすべての重なり（A∩B∩C）は (A∩B) と (A∩C) の両方に含まれているので、二重に引いてしまった分を足し戻します。

Aだけ = A − (A∩B) − (A∩C) + (A∩B∩C)。

食品だけ→180-60-45+15=90人。

衣料だけ→120-60-30+15=45人。

家電だけ→90-30-45+15=30人。

これらを合計して

ちょうど1つだけ→90+45+30=165人。

このように、3集合の「ちょうどN個」を求めるときはベン図の7領域を意識して、二重引きの足し戻しを忘れないようにしましょう。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 313人 になります。

3集合の包除原理を使います。

A∪B∪C=A+B+C-(A∩B)-(B∩C)-(C∩A)+A∩B∩C。

代入して、

少なくとも1つ→220+180+95-110-45-55+28=313人。

このように求めることができます。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 29人 になります。

包除原理の式を変形して未知数を出します。

A∪B∪C=A+B+C-(A∩B)-(B∩C)-(C∩A)+A∩B∩C。

求めたいのは C∩A（英検とITパスポートの両方）です。

代入して、

195=95+110+68-42-25-(C∩A)+18。

右辺を整理して、

195=224-(C∩A)。

これより、

C∩A=224-195=29人。

このように、包除原理で1つだけ未知数があれば、方程式を1本立てて解けます。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 0人 になります。

まず、ソーセージとチーズの両方が好きな人の人数は、一番少ない場合

28+26-40=14人。

となります。

（最も多い場合はチーズが好きな人全員がソーセージも好きで26人）

このとき、さらにこの14人の中で、ベーコンも好きな人の人数は、最も少ない場合

14+31-40=5人。

だけとなります。

この5人について、ハムが好きな人の人数を考えると、

5+34-40=-1<0。

となるので、ハムが好きな人と「ベーコン、ソーセージ、チーズ」が好きな人は被らない可能性があります。

したがって、4つの食べ物全て好きな人が一番少ない場合は 0人 となります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 45人 になります。

「両方持っている人」の最大値は、人数が少ない方の集合の人数まで取れます。

ここでは A=52人、B=45人 なので、B のすべての人が A も持っている場合、両方持つ人は B の人数と同じ 45人。

これがこの2集合での両方の最大値です。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 17人 になります。

「両方持っている人」の最小値は、包除原理の式から、

両方→A+B-(A∪B)。

A∪B は全体の80人を超えられないので、A∪B が最大の80人のとき両方が最小になります。

両方→52+45-80=17人。

これがこの2集合での両方の最小値です。

なお、両方は0人未満にはならないので、A+B≦全体なら最小は0人になる点に注意。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 13人 になります。

「国語合格∩数学不合格」を最小にするには、国語合格者のうちできるだけ多くが数学にも合格すればOKです。

数学合格者は82人なので、国語合格者95人のうち最大で82人が数学も合格できます。

よって、国語合格∩数学不合格の最小は

95-82=13人。

このように、「Aで、かつBでない」の最小値は max(0, A−B) で求まります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 7人 になります。

まず、温泉と観光地の両方の最小値を求めます。

温泉∩観光地→42+35-50=27人。

次に、この27人がお土産も買った最小値を求めます。

3つすべて→27+30-50=7人。

このように、2段階で「少ない方の集合」と「次の集合」の重なりを順に絞り込んでいけば、3集合の共通部分の最小値が出ます。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 12人 になります。

「どちらにも出席しない」を最大にするには、「少なくとも一方に出席」を最小にすればOKです。

「少なくとも一方」の最小値は、土曜と日曜の出席者が完全に重なるとき、つまり日曜出席者の35人が全員土曜も出席する場合の

少なくとも一方→48人（土曜出席者と同じ）。

ですから、どちらにも出席しない人の最大値は

60-48=12人。

となります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 31人 になります。

カルノー図（2×2の表）で整理します。

| | フレックス○ | フレックス× | 合計 |

|————–|—|—|—|

| 在宅○ | 78 | ? | 135 |

| 在宅× | ? | ? | ? |

| 合計 | 112 | ? | 200 |

まず、在宅○・フレックス×を求めます。

135-78=57人。

次に、在宅×・フレックス○を求めます。

112-78=34人。

最後に、在宅×・フレックス×（求める値）を求めます。

200-(78+57+34)=31人。

このように表で整理すると、ベン図より見落としが減ります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 54人 になります。

カルノー図で整理します。

| | 希望○ | 希望× | 合計 |

|————–|—|—|—|

| 男性 | 72 | ? | 150 |

| 女性 | ? | ? | 90 |

| 合計 | 108 | ? | 240 |

まず、希望○・女性を求めます。

108-72=36人。

次に、希望×・女性（求める値）を求めます。

90-36=54人。

このように、行ごと・列ごとに足し算引き算するだけで全マスが埋まります。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 180人 になります。

カルノー図で整理します。

| | 購入○ | 購入× | 合計 |

|————–|—|—|—|

| 会員 | ? | ? | 320 |

| 非会員 | ? | 85 | 180 |

| 合計 | 275 | ? | 500 |

まず、非会員の合計を求めます。

500-320=180人。

次に、非会員かつ購入○を求めます。

180-85=95人。

最後に、会員かつ購入○（求める値）を求めます。

275-95=180人。

このように、表の対角線・端から順に埋めるとミスが防げます。

解説

「SPI頻出問題集」にもあるように、以下の通り問題を解きましょう。

答えは 76人 になります。

「TOEICだけ受験＝TOEIC受験者 − TOEICと漢検の両方」なので、両方の最大値を考えればOKです。

両方の最大値は人数の少ない方、つまり漢検の92人まで取れます。

漢検92人が全員TOEICも受けているとき、両方は92人なので、

TOEICだけ→168-92=76人。

これがTOEICだけ受験した人の最小値です。

逆に、両方が最小（168+92-240=20人）のときはTOEICだけは168-20=148人で最大になります。