SPI確率の練習問題（20問）

解説

（解法1）組み合わせを考える。

6本のくじから同時に2本を引くとき、取り出し方の組み合わせは、6C2 = 15通り。

2本の当たりのうち、1本を取り出す組み合わせは、2C1 = 2通り。

4本のハズレから、1本を取り出す組み合わせは、4C1 = 4通り。

よって、2 × 4 / 15 = 8/15 となります。

（解法2）1本ずつ確率を考える。

同時に2本取り出したとありますが、1本目を選んで、その後に2本目を選んでから結果を見る場合も同じです。

そのため、1本ずつ順番に選んだと考えることもできます。

2本のうち、1本だけ当たりを引く場合は、

（①）1本目に当たりを引き、2本目にハズレを引く場合

2/6 × 4/5 = 8/30

（②）1本目にハズレを引き、2本目に当たりを引く場合

4/6 × 2/5 = 8/30

の2通りがあります。

これらは、同時に起こらないため、和を求めて、

8/30 + 8/30 = 8/15 となります。

解説

全ての玉から1個を取り出す場合の数は、8通り。

そのうち赤玉である場合の数は、3通り。

求める確率は 3/8 となるので、答えは 3/8 です。

解説

1個目に赤玉を引く確率は 4/7。

1個目を戻さないので、2個目を引くときは残り6個のうち赤玉が3個。

よって2個目に赤玉を引く確率は 3/6 = 1/2。

2個とも赤玉である確率は 4/7 × 1/2 = 2/7 となります。

なお、16/49 は1個目を戻す場合（独立試行）の答えなので、戻すか戻さないかを必ず確認しましょう。

解説

「少なくとも1本当たる」の余事象は「2本ともハズレを引く」です。

10本から2本を引く組み合わせは 10C2 = 45通り。

ハズレ7本から2本を引く組み合わせは 7C2 = 21通り。

2本ともハズレを引く確率は 21/45 = 7/15。

求める確率は 1 – 7/15 = 8/15 となるので、答えは 8/15。

解説

Bさんが当たるのは次の2つの場合に分けられます。

ケース1: Aさんが当たり、Bさんも当たる。

確率は 2/5 × 1/4 = 2/20 = 1/10。

ケース2: Aさんがハズレ、Bさんが当たる。

確率は 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10。

2つの場合は同時に起こらないので、和を求めて 1/10 + 3/10 = 4/10 = 2/5。

よって答えは 2/5 となります。

くじ引きは何番目に引いても当たる確率は同じになる、という性質を覚えておくと検算に使えます。

解説

1つのサイコロの目の出方は6通りあるので、2つのサイコロの目の組み合わせは 6 × 6 = 36通りです。

大小2つのサイコロの目の和が10になる組み合わせは、

(大, 小) = (4, 6)、(5, 5)、(6, 4) の3通りあります。

よって求める確率は 3/36 = 1/12 となります。

解説

2つの数字の積が偶数となる場合を考えます。

（①）偶数 × 偶数 = 偶数

（②）偶数 × 奇数 = 偶数

（③）奇数 × 偶数 = 偶数

（④）奇数 × 奇数 = 奇数

よって、①②③のように少なくとも一方が偶数の目が出れば良いことが分かります。

①②③の確率をそれぞれ計算して和を求めても良いですが、計算量が少なくなるように工夫しましょう。

(積が偶数になる確率) + (積が奇数になる確率) = 1　より

(積が偶数になる確率) = 1 – (積が奇数になる確率)

となるので、積が奇数となる④の確率を求めて1から引くことで計算すると、計算が少なく済みそうです。

サイコロの目のうち、奇数の目は (1, 3, 5) の3通りなので、大小がともに奇数となるのは、3 × 3 = 9通りです。

よって、積が奇数になる確率は、9/36 = 1/4 であり、

積が偶数になる確率は、1 – 1/4 = 3/4 となります。

解説

サイコロの目の出方は全部で6通り。

5以上の目は (5, 6) の2通り。

よって求める確率は 2/6 = 1/3 となります。

解説

2つのサイコロの目の組み合わせは 6 × 6 = 36通り。

両方とも同じ目になる組み合わせは (1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6) の6通り。

求める確率は 6/36 = 1/6 となります。

解説

2つのサイコロの目の組み合わせは全部で 6 × 6 = 36通り。

和が5以下になる組み合わせを書き出すと、

和が2: (1,1) の1通り。

和が3: (1,2)(2,1) の2通り。

和が4: (1,3)(2,2)(3,1) の3通り。

和が5: (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) の4通り。

合計で 1 + 2 + 3 + 4 = 10通り。

求める確率は 10/36 = 5/18 となります。

解説

コイン1枚を3回投げたときの目の出方は全部で 2 × 2 × 2 = 8通り。

ちょうど2回表が出る並びは、

(表, 表, 裏)(表, 裏, 表)(裏, 表, 表) の3通り。

求める確率は 3/8 となるので、答えは 3/8 です。

解説

「少なくとも1回表が出る」の余事象は「4回とも裏が出る」です。

4回とも裏が出る確率は 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/16。

求める確率は 1 – 1/16 = 15/16 となります。

「少なくとも1回」と書かれていたら、まず余事象を疑うのが鉄則です。

解説

繰り返し行う事象の場合、1回ごとの確率をかけることで、同時に起こる確率を計算することができます。

「1回目に玉が剣に刺さる確率」×「2回目に玉が剣に刺さる確率」

= 0.5 × 0.7

= 0.35 となります。

解説

2回のうち1回だけ玉が剣に刺さる事象は、

ケース1:「1回目に玉が剣に刺さる」かつ「2回目に失敗する」

ケース2:「1回目に失敗する」かつ「2回目に玉が剣に刺さる」

の2つの場合が考えられます。

2つの場合は同時に成立しないので、それぞれの確率を足し合わせて計算します。

ケース1の確率: 0.5 × 0.3 = 0.15。

ケース2の確率: 0.5 × 0.7 = 0.35。

よって 0.15 + 0.35 = 0.50 となります。

解説

くじを戻しながら引くので、1回目と2回目の確率は独立しています。

1回目に当たる確率は 4/10 = 2/5。

2回目に当たる確率も 4/10 = 2/5。

よって2回とも当たる確率は 2/5 × 2/5 = 4/25 となります。

なお、2/15 は戻さずに引いた場合の答え（4/10 × 3/9）です。

戻すか戻さないかで答えが変わるので、必ず確認しましょう。

解説

「少なくとも1人当たる」の余事象は「2人ともハズレる」です。

Pさんがハズレる確率は 1 – 1/4 = 3/4。

Qさんがハズレる確率は 1 – 1/3 = 2/3。

2人ともハズレる確率は 3/4 × 2/3 = 6/12 = 1/2。

求める確率は 1 – 1/2 = 1/2 となります。

解説

3人がそれぞれグー・チョキ・パーのいずれかを出すので、出し方は全部で 3 × 3 × 3 = 27通り。

あいこになるのは次の2つの場合です。

ケース1: 3人とも同じ手を出す → (グー,グー,グー)(チョキ,チョキ,チョキ)(パー,パー,パー) の3通り。

ケース2: 3人がそれぞれ違う手を出す → 3人の並び方は 3! = 6通り。

合計で 3 + 6 = 9通り。

求める確率は 9/27 = 1/3 となります。

解説

1本ごとに決まる確率は独立しているので、3本とも決まる確率はそれぞれの確率の積です。

0.8 × 0.8 × 0.8 = 0.512 となるので、答えは 0.512 です。

なお、0.064 は3本とも外す確率（0.2 × 0.2 × 0.2）、0.384 は3本中ちょうど1本だけ外れる場合の確率と桁が紛らわしいので注意しましょう。

解説

「少なくとも1本外す」の余事象は「3本とも決まる」です。

3本とも決まる確率は 0.8 × 0.8 × 0.8 = 0.512。

求める確率は 1 – 0.512 = 0.488 となります。

0.488 と 0.992 は数値が近いので落ち着いて余事象を選びましょう。

0.992 は「少なくとも1本決まる」の答えになります。

解説

和が偶数になるのは、2枚とも偶数か、2枚とも奇数のいずれかです。

5枚のカードのうち偶数は (2, 4) の2枚、奇数は (1, 3, 5) の3枚あります。

ケース1: 2枚とも偶数の場合。

Pさんが偶数を引く確率は 2/5、Qさんが残り4枚から偶数を引く確率は 1/4。

よって 2/5 × 1/4 = 2/20 = 1/10。

ケース2: 2枚とも奇数の場合。

Pさんが奇数を引く確率は 3/5、Qさんが残り4枚から奇数を引く確率は 2/4 = 1/2。

よって 3/5 × 1/2 = 3/10。

2つの場合は同時に起こらないので、和を求めて 1/10 + 3/10 = 4/10 = 2/5。