SPI順列・組み合わせの練習問題（40問）

解説

1人目はA、B、Cの3通り。

2人目は残り2人から選ぶので2通り。

よって 3×2 = 6通り。

解説

サイコロの目は6通り、コインの表裏は2通り。

それぞれ独立しているので積の法則で 6×2 = 12通り。

解説

最初の文字はBかCの2通り。

2文字目は残り2文字から選ぶので2通り。

よって 2×2 = 4通り。

解説

①は3色のうちどれでも可で 3通り。

②は①と横で隣接するので残り2色から1つで 2通り。

③は①と縦で隣接するので残り2色から1つで 2通り（②とは対角なので独立）。

④は②（縦）とも③（横）とも隣接するので両方と違う色が必要。

 ・②=③のとき：④はその色以外の2色 → 2通り

 ・②≠③のとき：④は②③以外の1色のみ → 1通り

②③の選び方（2×2=4通り）の内訳は ②=③ が2通り、②≠③ が2通り。

よって 3 × (2×2 + 2×1) = 3 × 6 = 18通り。

解説

中央③は他の4領域すべてと隣接するので、まず③の色を決める：3通り。

外周の①②④⑤は③とだけ隣接し、互いには隣接しない。

よって各々「③と違う2色」から自由に選べる：2×2×2×2 = 16通り。

3 × 16 = 48通り。

解説

百の位は5通り、十の位は残り4通り、一の位は残り3通り。

5×4×3 = 60通り。

解説

偶数なので一の位は2か4の2通り。

残り4枚から百の位を選ぶ：4通り。

十の位は残り3通り。

2×4×3 = 24通り。

解説

百の位は0以外の4通り（1〜4）。

十の位は残り4枚から1枚で4通り（0も含まれる）。

一の位は残り3枚から1枚で3通り。

4×4×3 = 48通り。

解説

1日目の面接官から考えると、1日目の面接官はA、B、C、Dの4名すべてなりうる。

つまり、4通り。

2日目は、1日目に選ばれた人以外の3人から1人選ぶことになる。

つまり、3通り。

したがって、4×3=12（通り）。

解説

リーダーを選ぶ方法から考える。

リーダーはA、B、C、Dの4名のうち誰でもよいので、4通りの選び方がある。

次に、サブリーダーを選ぶ。

リーダーに選ばれた人以外の3名から選ぶので、3通りの選び方がある。

最後に、メンバーを選ぶ。

リーダーとサブリーダーに選ばれた人以外の2名から選ぶので、2通りの選び方がある。

したがって、リーダー、サブリーダー、メンバーの役割を選ぶ総数は、 4×3×2=24通りになる。

解説

2色では、（①④）と（②③）を塗り分けるパターンだけ。

2色を2か所に並べる順列なので、

2P2 = 2×1= 2通り

解説

各桁は0か1の2通り、それが4桁分。

2^4 = 16通り。

解説

1人につき合格・不合格の2通り、それが5人分独立。

2^5 = 32通り。

解説

隣り合う2席は、①②、②③、③④、④⑤、⑤⑥、⑥①の6通り。

また、PQの座り方はそれぞれに（P・Q）、（Q・P）の2通りがある。

よって、6×2=12通り。

残りの4席の決め方は、4！=4×3×2×1=24通り。

これらを掛け合わせて、12×24=288通り。

解説

同じものを含むので、場合分けして解く。

・3個が同じ場合

 ・（りんご・りんご・りんご、みかん）

 ・（りんご・りんご・りんご、かき）

 ・（みかん・みかん・みかん、りんご）

 ・（みかん・みかん・みかん、かき）

の4通り

・2個が同じ場合

 ・（りんご・りんご、みかん・みかん）

 ・（りんご・りんご、かき・かき）

 ・（みかん・みかん、かき・かき）

 ・（りんご・りんご、みかん、かき）

 ・（みかん・みかん、りんご、かき）

 ・（かき・かき、りんご、みかん）

の6通り

したがって、4+6=10通り

解説

5人を一列に並べる順列。

5! = 5×4×3×2×1 = 120通り。

解説

両端のAとBの並び方は (A,B) と (B,A) の2通り。

中央の3席にC、D、Eを並べる方法は 3! = 6通り。

2×6 = 12通り。

解説

円順列ではAの位置を固定して考える。

Aを固定すると、真向かいの席は1か所だけなのでBの位置は確定。

残り4席に C、D、E、F の4人を並べる方法は 4! = 24通り。

解説

5玉の円順列は (5−1)! = 24通り。

数珠は裏返して一致する並びを同じと数えるので、さらに2で割る。

24 ÷ 2 = 12通り。

解説

22人の中から、メンバー20名を選ぶ組み合わせは、選ばれない2名を選ぶことと同じ。

22C20 = 22C2 =231通り

解説

例えばコインを3回投げて表が2回だけ出る出方は、1、2、3回のうち表を2回だけ選ぶ組み合わせになる。

つまり、コインをn回投げて表（裏）がr回出る出方は、nCr通り。

同様に、6回投げて表が2回だけ出るような出方は、6回のうち2回の表を選ぶ組み合わせになる。

6C2 =15通り

解説

この問題では「3人ずつ分ける」と何通りになるか聞かれているので、組み合わせの問題だとわかります。

赤組の3人が決まれば、白組の3人も決まるので、赤組になる3人の組み合わせが何通りかを求めれば、答えを導くことができます。

計算の仕方は以下のとおりです。

6C3＝（6×5×4）/（3×2×1）＝20

したがって、答えは20通りとなります。

解説

例題②と例題①の違いは、分ける2つの組に区別がされていない点です。

2つの組に区別があれば、

（赤組：A, B, C / 白組：D, E, F）

（赤組：D, E, F / 白組：A, B, C）

の2つが別物として区別できますが、今回の問題には組の区別がないため、上記の2組は同じ1通りのものとみなされます。

以上のことを踏まえると、計算の仕方は以下のとおりです。

6C3/2＝（6×5×4）/（3×2×1）×1/2＝10

したがって、答えは10通りとなります。

解説

赤組の2人、白組の2人を選べば、残りの2人が青組に決まるので、赤組2人と白組2人の組み合わせが何通りかを求めれば、答えを導くことができます。

以上のことを踏まえると、計算の仕方は以下のとおりです。

6C2×4C2＝（6×5）/（2×1）×（4×3）/（2×1）＝90

したがって、答えは90通りとなります。

解説

例題④と例題③は、例題②と例題①の違いと同様に、組の区別がない点です。

3つの組に区別がない場合、

（赤組：A, B / 白組：C, D / 青組：E, F）

（赤組：A, B / 白組：E, F / 青組：C, D）

（赤組：C, D / 白組：E, F / 青組：A, B）

（赤組：C, D / 白組：A, B / 青組：E, F）

（赤組：E, F / 白組：A, B / 青組：C, D）

（赤組：E, F / 白組：C, D / 青組：A, B）

の6通りが全て同じ1通りの分け方とみなされます。

以上のことを踏まえると、計算の仕方は以下のとおりです。

6C2×4C2/6＝（6×5）/（2×1）×（4×3）/（2×1）×1/2＝15

したがって、答えは15通りとなります。

解説

赤組の3人、白組の2人を選べば、残りの1人が青組に決まるので、赤組3人と白組2人の組み合わせが何通りかを求めれば、答えを導くことができます。

以上のことを踏まえると、計算の仕方は以下のとおりです。

6C3×3C2＝（6×5×4）/（3×2×1）×（3×2）/（2×1）＝60

したがって、答えは60通りとなります。

解説

まず、「重複を許す」という表現の意味を説明します。

これまでの例題では、1度用いられた要素を2度使うことはできませんでした。

しかし、今回の問題では、一度用いられた要素を複数回使うことができます。

例題⑥の場合、（赤、青、黄）（赤、赤、黄）（赤、赤、赤）といった組み合わせが可能になります。

重複組み合わせの問題を解くときは、樹形図を描くと視覚的に理解ができるので、考えやすいです。

または、以下の考え方を利用して解くこともできます。

重複組み合わせの際には、どのタイミングで要素が変わるのかが重要です。

要素が変わるタイミングを｜で示すと、それぞれの要素

（赤、青、黄）（赤、赤、黄）（赤、赤、赤）は、

赤｜青｜黄、赤赤｜黄｜、赤赤赤｜｜と表すことができ、

求める組み合わせは、3つの要素と2つの｜の5つの並べ方と考えることができます。

よって、以上より5C3＝（5×4×3）/（3×2×1）＝10通りとなります。

したがって、答えは10通りです。

解説

X組の生徒の選び方は、

5C3=（5×4×3）/（3×2×1）=10通り

Y組の生徒の選び方は、5通り

したがって、

10×5=50通り

解説

問題文に「少なくとも」とある時は、「問題文と反対の場合の数」を「全体の場合の数」から引きます。

X組の生徒が1人も含まれない選び方を考えると、

X組0人、Y組4人の場合のみ。

この時の選び方は、Y組の5人から4人を選ぶということなので、

5C4=（5×4×3×1）/（4×3×2×1）=5通り

全体の場合の数は、10人から4人選ぶ組み合わせなので、

10C4=（10×9×8×7）/（4×3×2×1）=210通り

したがって、

210-5=205通り

解説

この問題は、3色のボールから2つを選ぶ「組み合わせ」と、選ばれた2つのボールの並び方を求める「順列」の複合問題だとわかります。

まず、3色のボールから2つを選ぶ組み合わせを求めます。

組み合わせの公式を利用して、3C2＝（3×2）/（2×1）＝3通りとなります。

ここで、2つのボールの並べ方を求めると、

2P2＝2×1＝2通りが求められます。

3通りの組み合わせそれぞれに2通りの並べ方があるので、求める結果は

3×2＝6

したがって、答えは6通りです。

解説

全体から「男子0人＝女子3人だけ」を引く余事象で考える。

全体：7C3 = 35通り。

男子0人：3C3 = 1通り。

35 − 1 = 34通り。

解説

「同じ色を2個以上含まない」＝3個とも違う色 ＝ 各色から1個ずつ選ぶ。

赤・白・青それぞれ3個から1個ずつ選ぶので、3×3×3 = 27通り。

解説

男子5人から2人：5C2 = 10通り。

女子4人から1人：4通り。

10×4 = 40通り。

解説

全体から「女子0人＝男子3人だけ」を引く余事象。

全体：9C3 = 84通り。

男子3人：5C3 = 10通り。

84 − 10 = 74通り。

解説

大人の枚数を 0, 1, 2, 3, 4, 5 と決めれば子どもは自動で決まる。

よって 6通り。

解説

仕切り法で考える。

果物4個と種類の仕切り2本、計6個を並べる。

4個分の位置を選ぶ：6C4 = 6C2 = 15通り。

解説

女子2人を1つの塊として考えると、男子3人＋塊1つ＝4つを並べる順列。

4! = 24通り。

塊の中で女子2人の並びは 2! = 2通り。

24×2 = 48通り。

解説

全体から「隣り合う」を引く余事象で考える。

全体：5! = 120通り。

隣り合う：48通り（前問より）。

120 − 48 = 72通り。

解説

和が7になる組み合わせは (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) の6通り。

※サイコロ2個は区別する（順序あり）。

解説

5人から3人を選んで並べる順列。

5P3 = 5×4×3 = 60通り。